Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(-2; 1; 2) và đi qua điểm A(1; -2; -1).

Câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(-2; 1; 2) và đi qua điểm A(1; -2; -1). Xét các điểm B, C, D thuộc (S) sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng

A.
72

B.
216

C.
108

D.
36

Đáp án đúng: D

Bạn đang xem: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(-2; 1; 2) và đi qua điểm A(1; -2; -1).

Đặt AB = a, AC = b, AD = c thì ABCD là tứ diện vuông đỉnh A, nội tiếp mặt cầu (S).

Khi đó ABCD là tứ diện đặt ở góc A của hình hộp chữ nhật tương ứng có các cạnh AB, AC, AD và đường chéo AA’ là đường kính của cầu. Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 4{R^2}\).

Xét \( = {V_{ABCD}} = \frac{1}{6}abc \Leftrightarrow {V^2} = \frac{1}{{36}}{a^2}{b^2}{c^2}\).

Mà \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}} \right)^3} \ge {a^2}{b^2}{c^2} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{4{R^2}}}{3}} \right)^3} \ge 36.{V^2}\)

\( \Leftrightarrow V \le {R^3}.\frac{{4\sqrt 3 }}{{27}}\)

Với \(R = IA = 3\sqrt 3 \).

Vậy \({V_{\max }} = 36\).