Giải bài tập

Giải Bài 9, 10, 11 trang 119 Hình học 10 nâng cao: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài ôn tập chương III Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Giải bài 9, 10, 11 trang 119 SGK Hình học lớp 10 nâng cao.  Viết phương trình của các tiếp tuyến của (C) kể từ A;  Tìm tọa độ các tiêu điểm của (E) và (H).

Bài 9: Cho đường tròn \((C):\,\,{x^2} + {y^2} = 4\) và điểm A(-2, 3)

a) Viết phương trình của các tiếp tuyến của (C) kể từ A.

Bạn đang xem: Giải Bài 9, 10, 11 trang 119 Hình học 10 nâng cao: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

b) Tính các khoảng cách từ A đến tiếp điểm của hai tiếp tuyến nói ở câu a) và khoảng cách giữa hai tiếp điểm đó.

Đường tròn (C) có tâm  O(0 ; 0), bán kính R=2.

a) Đường thẳng Δ qua A có dạng

\(\eqalign{
& a(x + 2) + b(y – 3) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \,ax + by + 2a – 3b = 0 \cr} \)

Δ là tiếp tuyến của (C)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \,\,d(O\,;\,\Delta ) = R\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{{|2a – 3b|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,{(2a – 3b)^2} = 4({a^2} + {b^2}) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,5{b^2} – 12ab = 0 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,b(5b – 12a) = 0\cr&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\left[ \matrix{
b = 0 \hfill \cr
12a = 5b \hfill \cr} \right. \cr} \)

Với b = 0, chọn a = 1 ta có tiếp tuyến \({\Delta _1}\,\,:\,\,x + 2 = 0\)

Với \(12a=5b\), chọn \(a=5, b=12\) ta có tiếp tuyến \({\Delta _2}:\,\,5x + 12y – 26 = 0\)

b) Gọi T, T’ là tiếp điểm của \({\Delta _1}\,,\,{\Delta _2}\) với (C) . Ta có

\(AT = AT’ = \sqrt {A{O^2} – {R^2}}  = \sqrt {13 – 4}  = 3\)

Gọi H là giao điểm của TT’ và AO, TH là đường cao của tam giác vuông ATO, ta có

\(\eqalign{
& {1 \over {T{H^2}}} = {1 \over {A{T^2}}} + {1 \over {T{O^2}}} = {1 \over 9} + {1 \over 4} = {{13} \over {36}} \cr
& \Rightarrow \,\,TH = {6 \over {\sqrt {13} }}\,\, \Rightarrow \,\,\,TT’ = 2TH = {{12} \over {\sqrt {13} }} \cr} \ 


Bài 10: Cho \((E):{{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over 4} = 1\) và hypebol \((H):{{{x^2}} \over 5} – {{{y^2}} \over 4} = 1.\)

a) Tìm tọa độ các tiêu điểm của (E) và (H).

b) Vẽ phác elip (E) và hypebol (H) trong cùng một hệ trục tọa độ.

c) Tìm tọa độ các giao điểm của (E) và (H).

a) Với \((E):{{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over 4} = 1\) ta có \(a = \sqrt 5 \,,\,\,b = 2\,\,\, \Rightarrow \,c = \sqrt {{a^2} – {b^2}}  = 1\)

Tọa độ các tiêu điểm của (E) là \({F_1}( – 1\,;\,0)\,,\,\,{F_2}(1\,;\,0)\)

Với (H) : \({{{x^2}} \over 5} – {{{y^2}} \over 4} = 1\) , ta có \(a = \sqrt 5 \,,\,b = 2\,,\,\,c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 3\)

Tọa độ các tiêu điểm của (H) là \({F_1}( – 3\,;\,0)\,,\,\,{F_2}(3\,;\,0)\)

b) Vẽ (E) và (H).

c) Tọa độ giao điểm của (E) và (H) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \matrix{
{{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over 4} = 1 \hfill \cr
{{{x^2}} \over 5} – {{{y^2}} \over 4} = 1 \hfill \cr} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{
{x^2} = 5 \hfill \cr
{y^2} = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{
x = \pm \sqrt 5 \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr} \right.\)

Vậy tọa đô giao điểm của (E) và (H) là \(\left( {\sqrt 5 \,;\,0} \right)\) và \(\left( -{\sqrt 5 \,;\,0} \right)\) .


Bài 11: Cho đường thẳng \(\Delta :2x – y – m = 0\) và elip \((E):{{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over 4} = 1.\)

a) Với giá trị nào của m thì Δ cắt (E) tại hai điểm phân biệt?

b) Với giá trị nào của m thì Δ cắt (E) tại một điểm duy nhất?

Giải

Tọa độ giao điểm của Δ và (E) là nghiệm của hệ

\(\left\{ \matrix{
2x – y – m = 0 \hfill \cr
{{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over 4} = 1 \hfill \cr} \right.\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = 2x – m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr
{{{x^2}} \over 5} + {{{{(2x – m)}^2}} \over 4} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \hfill \cr} \right.\)

Ta có (2) \( \Leftrightarrow \,\,4{x^2} + 5(4{x^2} – 4mx + {m^2}) = 20\)

\( \Leftrightarrow \,\,24{x^2} – 20mx + 5{m^2} – 20 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)\)

a) Δ  cắt (E) tại hai điểm phân biệt

 ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \,\Delta ‘ = 100{m^2} – 24(5{m^2} – 20) > 0 \cr
& \Leftrightarrow \,\, – 20{m^2} + 480 > 0 \cr
& \Leftrightarrow \,\,|m| < 2\sqrt 6 \cr
& \Leftrightarrow \,\, – 2\sqrt 6 < m < 2\sqrt 6 \cr} \)

b) Δ cắt (E) tại một điểm duy nhất  \( \Leftrightarrow \,\,m =  \pm 2\sqrt 6 \)

Đăng bởi: Monica.vn

Chuyên mục: Giải bài tập

[toggle title=”Xem thêm Bài 9, 10, 11 trang 119 Hình học 10 nâng cao: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” state=”close”]Bài ôn tập chương III Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Giải bài 9, 10, 11 trang 119 SGK Hình học lớp 10 nâng cao.  Viết phương trình của các tiếp tuyến của (C) kể từ A;  Tìm tọa độ các tiêu điểm của (E) và (H).

Bài 9: Cho đường tròn \((C):\,\,{x^2} + {y^2} = 4\) và điểm A(-2, 3)

a) Viết phương trình của các tiếp tuyến của (C) kể từ A.

b) Tính các khoảng cách từ A đến tiếp điểm của hai tiếp tuyến nói ở câu a) và khoảng cách giữa hai tiếp điểm đó.

Đường tròn (C) có tâm  O(0 ; 0), bán kính R=2.

a) Đường thẳng Δ qua A có dạng

\(\eqalign{
& a(x + 2) + b(y – 3) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \,ax + by + 2a – 3b = 0 \cr} \)

Δ là tiếp tuyến của (C)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \,\,d(O\,;\,\Delta ) = R\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{{|2a – 3b|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,{(2a – 3b)^2} = 4({a^2} + {b^2}) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,5{b^2} – 12ab = 0 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,b(5b – 12a) = 0\cr&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\left[ \matrix{
b = 0 \hfill \cr
12a = 5b \hfill \cr} \right. \cr} \)

Với b = 0, chọn a = 1 ta có tiếp tuyến \({\Delta _1}\,\,:\,\,x + 2 = 0\)

Với \(12a=5b\), chọn \(a=5, b=12\) ta có tiếp tuyến \({\Delta _2}:\,\,5x + 12y – 26 = 0\)

b) Gọi T, T’ là tiếp điểm của \({\Delta _1}\,,\,{\Delta _2}\) với (C) . Ta có

\(AT = AT’ = \sqrt {A{O^2} – {R^2}}  = \sqrt {13 – 4}  = 3\)

Gọi H là giao điểm của TT’ và AO, TH là đường cao của tam giác vuông ATO, ta có

\(\eqalign{
& {1 \over {T{H^2}}} = {1 \over {A{T^2}}} + {1 \over {T{O^2}}} = {1 \over 9} + {1 \over 4} = {{13} \over {36}} \cr
& \Rightarrow \,\,TH = {6 \over {\sqrt {13} }}\,\, \Rightarrow \,\,\,TT’ = 2TH = {{12} \over {\sqrt {13} }} \cr} \ 


Bài 10: Cho \((E):{{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over 4} = 1\) và hypebol \((H):{{{x^2}} \over 5} – {{{y^2}} \over 4} = 1.\)

a) Tìm tọa độ các tiêu điểm của (E) và (H).

b) Vẽ phác elip (E) và hypebol (H) trong cùng một hệ trục tọa độ.

c) Tìm tọa độ các giao điểm của (E) và (H).

a) Với \((E):{{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over 4} = 1\) ta có \(a = \sqrt 5 \,,\,\,b = 2\,\,\, \Rightarrow \,c = \sqrt {{a^2} – {b^2}}  = 1\)

Tọa độ các tiêu điểm của (E) là \({F_1}( – 1\,;\,0)\,,\,\,{F_2}(1\,;\,0)\)

Với (H) : \({{{x^2}} \over 5} – {{{y^2}} \over 4} = 1\) , ta có \(a = \sqrt 5 \,,\,b = 2\,,\,\,c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 3\)

Tọa độ các tiêu điểm của (H) là \({F_1}( – 3\,;\,0)\,,\,\,{F_2}(3\,;\,0)\)

b) Vẽ (E) và (H).

c) Tọa độ giao điểm của (E) và (H) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \matrix{
{{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over 4} = 1 \hfill \cr
{{{x^2}} \over 5} – {{{y^2}} \over 4} = 1 \hfill \cr} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{
{x^2} = 5 \hfill \cr
{y^2} = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{
x = \pm \sqrt 5 \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr} \right.\)

Vậy tọa đô giao điểm của (E) và (H) là \(\left( {\sqrt 5 \,;\,0} \right)\) và \(\left( -{\sqrt 5 \,;\,0} \right)\) .


Bài 11: Cho đường thẳng \(\Delta :2x – y – m = 0\) và elip \((E):{{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over 4} = 1.\)

a) Với giá trị nào của m thì Δ cắt (E) tại hai điểm phân biệt?

b) Với giá trị nào của m thì Δ cắt (E) tại một điểm duy nhất?

Giải

Tọa độ giao điểm của Δ và (E) là nghiệm của hệ

\(\left\{ \matrix{
2x – y – m = 0 \hfill \cr
{{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over 4} = 1 \hfill \cr} \right.\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = 2x – m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr
{{{x^2}} \over 5} + {{{{(2x – m)}^2}} \over 4} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \hfill \cr} \right.\)

Ta có (2) \( \Leftrightarrow \,\,4{x^2} + 5(4{x^2} – 4mx + {m^2}) = 20\)

\( \Leftrightarrow \,\,24{x^2} – 20mx + 5{m^2} – 20 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)\)

a) Δ  cắt (E) tại hai điểm phân biệt

 ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \,\Delta ‘ = 100{m^2} – 24(5{m^2} – 20) > 0 \cr
& \Leftrightarrow \,\, – 20{m^2} + 480 > 0 \cr
& \Leftrightarrow \,\,|m| < 2\sqrt 6 \cr
& \Leftrightarrow \,\, – 2\sqrt 6 < m < 2\sqrt 6 \cr} \)

b) Δ cắt (E) tại một điểm duy nhất  \( \Leftrightarrow \,\,m =  \pm 2\sqrt 6 \)

[/toggle]

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!