Giải Bài 69, 70, 71, 72 trang 154 SGK Đại số 10 nâng cao: Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai

Bài 8 Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai. Giải bài 69, 70, 71, 72 trang 154 SGK Đại số lớp 10 nâng cao. Giải các phương trình và bất phương trình sau; Giải các bất phương trình sau:

Bài 69: Giải các phương trình và bất phương trình sau

a) \(|{{{x^2} – 2} \over {x + 1}}|\, = 2\)

Bạn đang xem: Giải Bài 69, 70, 71, 72 trang 154 SGK Đại số 10 nâng cao: Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai

b) \(|{{3x + 4} \over {x – 2}}|\, \le   3\)

c) \(|{{2x – 3} \over {x – 3}}|\,\, \ge 1\)

d) \(|2x + 3| = |4 – 3x|\)

Đáp án

a) Điều kiện: x ≠ – 1

Ta có:

\(\eqalign{
& |{{{x^2} – 2} \over {x + 1}}|\, = 2 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{{{x^2} – 2} \over {x + 1}} = 2 \hfill \cr
{{{x^2} – 2} \over {x + 1}} = – 2 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} – 2 = 2x + 2 \hfill \cr
{x^2} – 2 = – 2x – 2 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} – 2x – 4 = 0 \hfill \cr
{x^2} + 2x = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \pm \sqrt 5 \hfill \cr
\left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = – 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = {\rm{\{ }}1 \pm \sqrt 5 ;\,0;\,2\} \)

b) Điều kiện: x ≠  2

Ta có:

\(\eqalign{
& |{{3x + 4} \over {x – 2}}|\, \le  3 \Leftrightarrow |3x + 4|\, \le \,3|x – 2| \cr
& \Leftrightarrow {(3x + 4)^2} – 9{(x – 2)^2} \le 0 \cr
& \Leftrightarrow 10(6x – 2) \le 0 \Leftrightarrow x \le {1 \over 3} \cr} \)

Vậy \(S = ( – \infty ,{1 \over 3}{\rm{]}}\)

c) Điều kiện: x ≠ 3

Ta có:

\(\eqalign{
& |{{2x – 3} \over {x – 3}}|\,\, \ge 1\, \Leftrightarrow \,|2x – 3|\, \ge \,|x – 3| \cr
& \Leftrightarrow {(2x – 3)^2} – {(x – 3)^2} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow x(3x – 6) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \le 0 \hfill \cr
x \ge 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = (-∞, 0] ∪ [2, 3) ∪ [3, +∞)\)

d) Ta có:

\(|2x + 3|\, = \,|4 – 3x|\, \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x + 3 = 4 – 3x \hfill \cr
2x + 3 = 3x – 4 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {1 \over 5} \hfill \cr
x = 7 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(S = {\rm{\{ }}{1 \over 5},7\} \)

---

Bài 70: Giải các bất phương trình sau:

a) |x² – 5x + 4| ≤ x² + 6x + 5

b) 4x² + 4x – |2x + 1| ≥ 5

Đáp án

a) Áp dụng:

|A| ≤ B ⇔ -B ≤ A ≤ B

|x² – 5x + 4| ≤ x² + 6x + 5

⇔ -x² – 6x – 5 ≤  x² – 5x + 4 ≤ x² + 6x + 5

\(\left\{ \matrix{
2{x^2} + x + 9 \ge 0 \hfill \cr
11x \ge – 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge – {1 \over {11}}\)

Vậy \(S = {\rm{[}} – {1 \over {11}}; + \infty )\)

b) Ta có: 4x² + 4x – |2x + 1| ≥ 5

⇔ |2x + 1| ≤ 4x² + 4x – 5

⇔ -4x² – 4x + 5 ≤ 2x + 1 ≤ 4x² + 4x – 5

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
4{x^2} + 6x – 4 \ge 0 \hfill \cr
4{x^2} + 2x – 6 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x \le – 2 \hfill \cr
x \ge {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left[ \matrix{
x \le – {3 \over 2} \hfill \cr
x \ge 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \le – 2 \hfill \cr
x \ge 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(S = (-∞, -2] ∪ [1, + ∞)\)

---

Bài 71: Giải các phương trình sau

a) \(\sqrt {5{x^2} – 6x – 4}  = 2(x – 1)\)

b) \(\sqrt {{x^2} + 3x + 12}  = {x^2} + 3x\)

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {5{x^2} – 6x – 4} = 2(x – 1)\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 1 \hfill \cr
5{x^2} – 6x – 4 = 4{(x – 1)^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 1 \hfill \cr
{x^2} + 2x – 8 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 2 \cr} \)

Vậy S = {2}

b) Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 3x + 12} \,\,\,(t \ge 0) \Rightarrow {x^2} + 3x = {t^2} – 12\) , ta có phương trình:

\(t = {t^2} – 12 \Leftrightarrow {t^2} – t – 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 4 \hfill \cr
t = – 3 \hfill \cr} \right.\)

Ta thấy t =  4 thỏa mãn điều kiện xác định nên:

\(\eqalign{
& t = 4 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 3x + 12} = 4 \Leftrightarrow {x^2} + 3x – 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = – 4 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy S = {4, 1}

---

Bài 72: Giải các bất phương trình sau

a) \(\sqrt {{x^2} + 6x + 8}  \le 2x + 3\)

b) \({{2x – 4} \over {\sqrt {{x^2} – 3x – 10} }} > 1\)

c) \(6\sqrt {(x – 2)(x – 32)}  \le {x^2} – 34x + 48\)

Đáp án

a)

Áp dụng:

\(\sqrt A = B \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
A \ge 0 \hfill \cr
B \ge 0 \hfill \cr
A \le {B^2} \hfill \cr} \right.\)

Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} + 6x + 8} \le 2x + 3 \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} + 6x + 8 \ge 0 \hfill \cr
2x + 3 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} + 6x + 8 \le {(2x + 3)^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x \le – 4 \hfill \cr
x \ge – 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
x \ge – {3 \over 2} \hfill \cr
3{x^2} + 6x + 1 \ge 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge – {3 \over 2} \hfill \cr
\left[ \matrix{
x \le {{ – 3 – \sqrt 6 } \over 3} \hfill \cr
x \ge {{ – 3 + \sqrt 6 } \over 3} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge {{\sqrt 6 } \over 3} – 1 \cr} \)

Vậy \(S = {\rm{[}}{{\sqrt 6 } \over 3} – 1, + \infty )\)

b) Ta có:

\(\eqalign{
& {{2x – 4} \over {\sqrt {{x^2} – 3x – 10} }} > 1\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} – 3x – 10 > 0 \hfill \cr
\sqrt {{x^2} – 3x – 10} < 2x – 4 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} – 3x – 10 > 0 \hfill \cr
2x – 4 > 0 \hfill \cr
{x^2} – 3x – 10 < {(2x – 4)^2} \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x < – 2 \hfill \cr
x > 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
x > 2 \hfill \cr
3{x^2} – 13x + 26 > 0\,\,(\forall x) \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x > 5 \cr} \)

Vậy \(S = (5, +∞)\)

c) Đặt \(y = \sqrt {(x – 2)(x – 32)}  = \sqrt {{x^2} – 34x + 64} \,\,\,(y \ge 0)\)

⇒ x² – 34x = y² – 64

Ta có bất phương trình:

6y ≤ y²  – 16 ⇔ y² – 6y – 16 ≥ 0 ⇔ y ≤ 2 hoặc y ≥ 8

Với điều kiện y ≥ 0, ta có:

y ≥ 8 ⇔  x² – 34x + 64 ≥ 64 ⇔  x² – 34x ≥ 0

⇔  x ≤ 0 hoặc x ≥ 34

Vậy \(S = (-∞, 0] ∪ [34, +∞)\)

Đăng bởi: Monica.vn

Chuyên mục: Giải bài tập

[toggle title=”Xem thêm Bài 69, 70, 71, 72 trang 154 SGK Đại số 10 nâng cao: Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai” state=”close”]Bài 8 Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai. Giải bài 69, 70, 71, 72 trang 154 SGK Đại số lớp 10 nâng cao. Giải các phương trình và bất phương trình sau; Giải các bất phương trình sau:

Bài 69: Giải các phương trình và bất phương trình sau

a) \(|{{{x^2} – 2} \over {x + 1}}|\, = 2\)

b) \(|{{3x + 4} \over {x – 2}}|\, \le   3\)

c) \(|{{2x – 3} \over {x – 3}}|\,\, \ge 1\)

d) \(|2x + 3| = |4 – 3x|\)

Đáp án

a) Điều kiện: x ≠ – 1

Ta có:

\(\eqalign{
& |{{{x^2} – 2} \over {x + 1}}|\, = 2 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{{{x^2} – 2} \over {x + 1}} = 2 \hfill \cr
{{{x^2} – 2} \over {x + 1}} = – 2 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} – 2 = 2x + 2 \hfill \cr
{x^2} – 2 = – 2x – 2 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} – 2x – 4 = 0 \hfill \cr
{x^2} + 2x = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \pm \sqrt 5 \hfill \cr
\left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = – 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = {\rm{\{ }}1 \pm \sqrt 5 ;\,0;\,2\} \)

b) Điều kiện: x ≠  2

Ta có:

\(\eqalign{
& |{{3x + 4} \over {x – 2}}|\, \le  3 \Leftrightarrow |3x + 4|\, \le \,3|x – 2| \cr
& \Leftrightarrow {(3x + 4)^2} – 9{(x – 2)^2} \le 0 \cr
& \Leftrightarrow 10(6x – 2) \le 0 \Leftrightarrow x \le {1 \over 3} \cr} \)

Vậy \(S = ( – \infty ,{1 \over 3}{\rm{]}}\)

c) Điều kiện: x ≠ 3

Ta có:

\(\eqalign{
& |{{2x – 3} \over {x – 3}}|\,\, \ge 1\, \Leftrightarrow \,|2x – 3|\, \ge \,|x – 3| \cr
& \Leftrightarrow {(2x – 3)^2} – {(x – 3)^2} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow x(3x – 6) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \le 0 \hfill \cr
x \ge 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = (-∞, 0] ∪ [2, 3) ∪ [3, +∞)\)

d) Ta có:

\(|2x + 3|\, = \,|4 – 3x|\, \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x + 3 = 4 – 3x \hfill \cr
2x + 3 = 3x – 4 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {1 \over 5} \hfill \cr
x = 7 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(S = {\rm{\{ }}{1 \over 5},7\} \)

---

Bài 70: Giải các bất phương trình sau:

a) |x² – 5x + 4| ≤ x² + 6x + 5

b) 4x² + 4x – |2x + 1| ≥ 5

Đáp án

a) Áp dụng:

|A| ≤ B ⇔ -B ≤ A ≤ B

|x² – 5x + 4| ≤ x² + 6x + 5

⇔ -x² – 6x – 5 ≤  x² – 5x + 4 ≤ x² + 6x + 5

\(\left\{ \matrix{
2{x^2} + x + 9 \ge 0 \hfill \cr
11x \ge – 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge – {1 \over {11}}\)

Vậy \(S = {\rm{[}} – {1 \over {11}}; + \infty )\)

b) Ta có: 4x² + 4x – |2x + 1| ≥ 5

⇔ |2x + 1| ≤ 4x² + 4x – 5

⇔ -4x² – 4x + 5 ≤ 2x + 1 ≤ 4x² + 4x – 5

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
4{x^2} + 6x – 4 \ge 0 \hfill \cr
4{x^2} + 2x – 6 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x \le – 2 \hfill \cr
x \ge {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left[ \matrix{
x \le – {3 \over 2} \hfill \cr
x \ge 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \le – 2 \hfill \cr
x \ge 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(S = (-∞, -2] ∪ [1, + ∞)\)

---

Bài 71: Giải các phương trình sau

a) \(\sqrt {5{x^2} – 6x – 4}  = 2(x – 1)\)

b) \(\sqrt {{x^2} + 3x + 12}  = {x^2} + 3x\)

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {5{x^2} – 6x – 4} = 2(x – 1)\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 1 \hfill \cr
5{x^2} – 6x – 4 = 4{(x – 1)^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 1 \hfill \cr
{x^2} + 2x – 8 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 2 \cr} \)

Vậy S = {2}

b) Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 3x + 12} \,\,\,(t \ge 0) \Rightarrow {x^2} + 3x = {t^2} – 12\) , ta có phương trình:

\(t = {t^2} – 12 \Leftrightarrow {t^2} – t – 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 4 \hfill \cr
t = – 3 \hfill \cr} \right.\)

Ta thấy t =  4 thỏa mãn điều kiện xác định nên:

\(\eqalign{
& t = 4 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 3x + 12} = 4 \Leftrightarrow {x^2} + 3x – 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = – 4 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy S = {4, 1}

---

Bài 72: Giải các bất phương trình sau

a) \(\sqrt {{x^2} + 6x + 8}  \le 2x + 3\)

b) \({{2x – 4} \over {\sqrt {{x^2} – 3x – 10} }} > 1\)

c) \(6\sqrt {(x – 2)(x – 32)}  \le {x^2} – 34x + 48\)

Đáp án

a)

Áp dụng:

\(\sqrt A = B \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
A \ge 0 \hfill \cr
B \ge 0 \hfill \cr
A \le {B^2} \hfill \cr} \right.\)

Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} + 6x + 8} \le 2x + 3 \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} + 6x + 8 \ge 0 \hfill \cr
2x + 3 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} + 6x + 8 \le {(2x + 3)^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x \le – 4 \hfill \cr
x \ge – 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
x \ge – {3 \over 2} \hfill \cr
3{x^2} + 6x + 1 \ge 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge – {3 \over 2} \hfill \cr
\left[ \matrix{
x \le {{ – 3 – \sqrt 6 } \over 3} \hfill \cr
x \ge {{ – 3 + \sqrt 6 } \over 3} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge {{\sqrt 6 } \over 3} – 1 \cr} \)

Vậy \(S = {\rm{[}}{{\sqrt 6 } \over 3} – 1, + \infty )\)

b) Ta có:

\(\eqalign{
& {{2x – 4} \over {\sqrt {{x^2} – 3x – 10} }} > 1\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} – 3x – 10 > 0 \hfill \cr
\sqrt {{x^2} – 3x – 10} < 2x – 4 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} – 3x – 10 > 0 \hfill \cr
2x – 4 > 0 \hfill \cr
{x^2} – 3x – 10 < {(2x – 4)^2} \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x < – 2 \hfill \cr
x > 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
x > 2 \hfill \cr
3{x^2} – 13x + 26 > 0\,\,(\forall x) \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x > 5 \cr} \)

Vậy \(S = (5, +∞)\)

c) Đặt \(y = \sqrt {(x – 2)(x – 32)}  = \sqrt {{x^2} – 34x + 64} \,\,\,(y \ge 0)\)

⇒ x² – 34x = y² – 64

Ta có bất phương trình:

6y ≤ y²  – 16 ⇔ y² – 6y – 16 ≥ 0 ⇔ y ≤ 2 hoặc y ≥ 8

Với điều kiện y ≥ 0, ta có:

y ≥ 8 ⇔  x² – 34x + 64 ≥ 64 ⇔  x² – 34x ≥ 0

⇔  x ≤ 0 hoặc x ≥ 34

Vậy \(S = (-∞, 0] ∪ [34, +∞)\)

[/toggle]