Giải Bài 45, 46, 47 trang 100 Sách Đại số 10 nâng cao: Một số ví dụ về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

monica Tháng Mười 16, 2022

0 9 phút

Bài 5 Một số ví dụ về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Giải bài 45, 46, 47 trang 100 SGK Đại số lớp 10 nâng cao. Giải các hệ phương trình; Tìm quan hệ giữa S và P để hệ phương trình sau có nghiệm

Bài 45: Giải các hệ phương trình

Bạn đang xem: Giải Bài 45, 46, 47 trang 100 Sách Đại số 10 nâng cao: Một số ví dụ về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

\(\left\{ \matrix{
x – y = 2 \hfill \cr
{x^2} + {y^2} = 164 \hfill \cr} \right.\)

\(\left\{ \matrix{
{x^2} – 5xy + {y^2} = 7 \hfill \cr
2x + y = 1 \hfill \cr} \right.\)

a) Từ phương trình thứ nhất của hệ, suy ra \(y = x – 2\)

Thay vào phương trình thứ hai ta được:

\(\eqalign{
& {x^2} + {(x – 2)^2} = 164 \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} – 4x + 4 = 164 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 80 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 10 \hfill \cr
x = – 8 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Với \(x = 10 ⇒ y = 8\)

Với \(x = -8 ⇒ y = -10\)

b) Thay \(y = 1 – 2x\) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

\(\eqalign{
& {x^2} – 5x(1 – 2x) + {(1 – 2x)^2} = 7 \cr
& \Leftrightarrow 15{x^2} – 9x – 6 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = – {2 \over 3} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Với \(x = 1 ⇒ y = -1\)

Với \(x = – {2 \over 3} \Rightarrow y = {9 \over 5}\)

Bài 46: Giải các hệ phương trình

\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} + x + y = 8 \hfill \cr
xy + x + y = 5 \hfill \cr} \right.\)

\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} – x + y = 2 \hfill \cr
xy + x – y = – 1 \hfill \cr} \right.\)

\(\left\{ \matrix{
{x^2} – 3x = 2y \hfill \cr
{y^2} – 3y = 2x \hfill \cr} \right.\)

a) Đặt S = x + y; P = xy, ta có hệ:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
S + P = 5 \hfill \cr
{S^2} – 2P + S = 8 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
P = 5 – S \hfill \cr
{S^2} – 2(5 – S) + S = 8 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
P = 5 – S \hfill \cr
{S^2} – 3S – 18 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
S = 3 \hfill \cr
P = 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
S = – 6 \hfill \cr
P = 11 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr} \)

i) Với S = 3, P = 2 thì x, y là nghiệm của phương trình:

\({x^2} – 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right.\)

Ta có nghiệm (1, 2); (2, 1)

ii) Với S = -6, P = 11 thì hệ phương trình vô nghiệm vì:

S² – 4P = 36 – 44 = -8 < 0

Vậy phương trình có hai nghiệm (1, 2); (2, 1)

b) Đặt x’ = -x, ta có hệ:

\(\left\{ \matrix{
x{‘^2} + {y^2} + x’ + y = 2 \hfill \cr
– x’y – x’ – y = – 1 \hfill \cr} \right.\)

Đặt S = x’ + y; P = x’y, ta có:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{S^2} – 2P + S = 2 \hfill \cr
S + P = 1 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{S^2} + S – 2(1 – S) = 2 \hfill \cr
P = 1 – S \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{S^2} + 3S – 4 = 0 \hfill \cr
P = 1 – S \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
S = 1 \hfill \cr
P = 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
S = – 4 \hfill \cr
P = 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr} \)

+) Nếu S =1, P = 0 thì x’, y là nghiệm phương trình:

\({X^2} – X = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = 0 \hfill \cr
X = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x’ = 0 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x’ = 1 \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)

Ta có nghiệm (0, 1) và (-1, 0)

+) Với S = -4, P = 5 thì hệ phương trình vô nghiệm vì S² – 4P < 0

c) Trừ từng vế của hai phương trình ta được:

x² – y² – 3x + 3y = 2y – 2x

⇔ (x – y)(x + y) – (x – y) = 0

⇔ (x – y)(x + y – 1) = 0

⇔ x – y = 0 hoặc x + y – 1 = 0

Vậy hệ đã cho tương ứng với:

\(\left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
{x^2} – 3x = 2y \hfill \cr
x – y = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(I) \hfill \cr
\left\{ \matrix{
{x^2} – 3x = 2y \hfill \cr
x + y – 1 = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(II) \hfill \cr} \right.\)

Ta có:

\((I)\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} – 3x = 2y \hfill \cr
x – y = 0 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x(x – 5) = 0 \hfill \cr
x = y \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = y = 0 \hfill \cr
x = y = 5 \hfill \cr} \right.\)

\((II) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} – 3x = 2(1 – x) \hfill \cr
y = 1 – x \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} – x – 2 = 0 \hfill \cr
y = 1 – x \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x = – 1 \hfill \cr
y = 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
y = – 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là : \((0, 0); (5, 5); (-1, 2); (2, -1)\)

Bài 47: Tìm quan hệ giữa S và P để hệ phương trình sau có nghiệm :

\(\left\{ \matrix{
x + y = S \hfill \cr
xy = P \hfill \cr} \right.\)

(S và P là hai số cho trước)

\(x, y\) là nghiệm của phương trình: \(X^2– SX + P = 0 \;\;(1)\)

(1) có nghiệm \(⇔ Δ = S^2– 4P ≥ 0\)

Đăng bởi: Monica.vn

Chuyên mục: Giải bài tập

[toggle title=”Xem thêm Bài 45, 46, 47 trang 100 Sách Đại số 10 nâng cao: Một số ví dụ về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn” state=”close”] Bài 5 Một số ví dụ về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Giải bài 45, 46, 47 trang 100 SGK Đại số lớp 10 nâng cao. Giải các hệ phương trình; Tìm quan hệ giữa S và P để hệ phương trình sau có nghiệm