Giải Bài 4.25, 4.26, 4.27, 4.28 trang 209, 210 SBT Giải tích 12:  Giải các phương trình sau trên tập số phức: 2×2 + 3x + 4 = 0 ?

Bài 4 Phương trình bậc hai với hệ số thực SBT Toán lớp 12. Giải bài 4.25, 4.26, 4.27, 4.28 trang 209, 210 Sách bài tập Giải tích 12. Chứng minh rằng số thực a < 0 chỉ có hai căn bậc hai phức…; Giải các phương trình sau trên tập số phức: 2×2 + 3x + 4 = 0 ?

Câu 4.25: Chứng minh rằng số thực a < 0 chỉ có hai căn bậc hai phức là \( \pm i\sqrt {|a|} \)

Giả sử z là một căn bậc hai của a, ta có z² = a. Vì a < 0 nên:

Bạn đang xem: Giải Bài 4.25, 4.26, 4.27, 4.28 trang 209, 210 SBT Giải tích 12:  Giải các phương trình sau trên tập số phức: 2×2 + 3x + 4 = 0 ?

 \(a =  – |a| =  – {(\sqrt {|a|} )^2}\)

Từ đó suy ra:

 \({z^2} =  – {(\sqrt {|a|} )^2}\)

\(\Rightarrow  {z^2} + {(\sqrt {|a|} )^2} = 0\)

\(\Rightarrow  (z + i\sqrt {|a|} )(z – i\sqrt {|a|} ) = 0\)

Vậy \(z = i\sqrt {|a|} \)  hay \(z =  – i\sqrt {|a|} \).

Câu 4.26: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) 2x² + 3x + 4 = 0

b) 3x² + 2x + 7 = 0

c) 2x⁴ + 3x² – 5 = 0

a) \({x_{1,2}} = {{ – 3 \pm i\sqrt {23} } \over 4}\)

b) \({x_{1,2}} = {{ – 1 \pm 2i\sqrt 5 } \over 3}\)

c) \({x_{1,2}} =  \pm 1;{x_{3,4}} =  \pm i\sqrt {{5 \over 2}} \).

Câu 4.27: Biết z₁ và z₂ là hai nghiệm của phương trình \(2{x^2} + \sqrt 3 x + 3 = 0\) . Hãy tính:

a) \(z_1^2 + z_2^2\)                             b) \(z_1^3 + z_2^3\)

c) \(z_1^4 + z_2^4\)                          d) \({{{z_1}} \over {{z_2}}} + {{{z_2}} \over {{z_1}}}\)

Ta có: \({z_1} + {z_2} =  – {{\sqrt 3 } \over 2},{z_1}.{z_2} = {3 \over 2}\)  . Từ đó suy ra:

a) \(z_1^2 + z_2^2 = {({z_1} + {z_2})^2} – 2{z_1}{z_2} = {3 \over 4} – 3 =  – {9 \over 4}\)

b) \(z_1^3 + z_2^3 = ({z_1} + {z_2})(z_1^2 – {z_1}{z_2} + z_2^2)\)

\(=  – {{\sqrt 3 } \over 2}( – {9 \over 4} – {3 \over 2}) = {{15\sqrt 3 } \over 8}\)

c) \(z_1^4 + z_2^4 = (z_1^2 + z_2^2) – 2z_1^2.z_2^2 = {( – {9 \over 4})^2} – 2.{({3 \over 2})^2} = {9 \over {16}}\)

d) \({{{z_1}} \over {{z_2}}} + {{{z_2}} \over {{z_1}}} = {{z_1^2 + z_2^2} \over {{z_1}.{z_2}}} = {{ – {9 \over 4}} \over {{3 \over 2}}} =  – {3 \over 2}\).

Câu 4.28: Chứng minh rằng hai số phức liên hợp z và \(\bar z\) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số phức.

Nếu z = a + bi  thì \(z + \bar z = 2a \in R;z.\bar z = {a^2} + {b^2} \in R\)

z và \(\bar z\) là hai nghiệm của phương trình \((x – z)(x – \bar z) = 0\)

  \( \Leftrightarrow  {x^2} – (z + \bar z)x + z.\bar z = 0 \Leftrightarrow  {x^2} – 2ax + {a^2} + {b^2} = 0\)

Đăng bởi: Monica.vn

Chuyên mục: Giải bài tập

[toggle title=”Xem thêm Bài 4.25, 4.26, 4.27, 4.28 trang 209, 210 SBT Giải tích 12:  Giải các phương trình sau trên tập số phức: 2×2 + 3x + 4 = 0 ?” state=”close”]
Bài 4 Phương trình bậc hai với hệ số thực SBT Toán lớp 12. Giải bài 4.25, 4.26, 4.27, 4.28 trang 209, 210 Sách bài tập Giải tích 12. Chứng minh rằng số thực a < 0 chỉ có hai căn bậc hai phức…; Giải các phương trình sau trên tập số phức: 2×2 + 3x + 4 = 0 ?

Câu 4.25: Chứng minh rằng số thực a < 0 chỉ có hai căn bậc hai phức là \( \pm i\sqrt {|a|} \)

Giả sử z là một căn bậc hai của a, ta có z² = a. Vì a < 0 nên:

 \(a =  – |a| =  – {(\sqrt {|a|} )^2}\)

Từ đó suy ra:

 \({z^2} =  – {(\sqrt {|a|} )^2}\)

\(\Rightarrow  {z^2} + {(\sqrt {|a|} )^2} = 0\)

\(\Rightarrow  (z + i\sqrt {|a|} )(z – i\sqrt {|a|} ) = 0\)

Vậy \(z = i\sqrt {|a|} \)  hay \(z =  – i\sqrt {|a|} \).

Câu 4.26: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) 2x² + 3x + 4 = 0

b) 3x² + 2x + 7 = 0

c) 2x⁴ + 3x² – 5 = 0

a) \({x_{1,2}} = {{ – 3 \pm i\sqrt {23} } \over 4}\)

b) \({x_{1,2}} = {{ – 1 \pm 2i\sqrt 5 } \over 3}\)

c) \({x_{1,2}} =  \pm 1;{x_{3,4}} =  \pm i\sqrt {{5 \over 2}} \).

Câu 4.27: Biết z₁ và z₂ là hai nghiệm của phương trình \(2{x^2} + \sqrt 3 x + 3 = 0\) . Hãy tính:

a) \(z_1^2 + z_2^2\)                             b) \(z_1^3 + z_2^3\)

c) \(z_1^4 + z_2^4\)                          d) \({{{z_1}} \over {{z_2}}} + {{{z_2}} \over {{z_1}}}\)

Ta có: \({z_1} + {z_2} =  – {{\sqrt 3 } \over 2},{z_1}.{z_2} = {3 \over 2}\)  . Từ đó suy ra:

a) \(z_1^2 + z_2^2 = {({z_1} + {z_2})^2} – 2{z_1}{z_2} = {3 \over 4} – 3 =  – {9 \over 4}\)

b) \(z_1^3 + z_2^3 = ({z_1} + {z_2})(z_1^2 – {z_1}{z_2} + z_2^2)\)

\(=  – {{\sqrt 3 } \over 2}( – {9 \over 4} – {3 \over 2}) = {{15\sqrt 3 } \over 8}\)

c) \(z_1^4 + z_2^4 = (z_1^2 + z_2^2) – 2z_1^2.z_2^2 = {( – {9 \over 4})^2} – 2.{({3 \over 2})^2} = {9 \over {16}}\)

d) \({{{z_1}} \over {{z_2}}} + {{{z_2}} \over {{z_1}}} = {{z_1^2 + z_2^2} \over {{z_1}.{z_2}}} = {{ – {9 \over 4}} \over {{3 \over 2}}} =  – {3 \over 2}\).

Câu 4.28: Chứng minh rằng hai số phức liên hợp z và \(\bar z\) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số phức.

Nếu z = a + bi  thì \(z + \bar z = 2a \in R;z.\bar z = {a^2} + {b^2} \in R\)

z và \(\bar z\) là hai nghiệm của phương trình \((x – z)(x – \bar z) = 0\)

  \( \Leftrightarrow  {x^2} – (z + \bar z)x + z.\bar z = 0 \Leftrightarrow  {x^2} – 2ax + {a^2} + {b^2} = 0\)

[/toggle]