Giải Bài 3.5, 3.6, 3.7, 3.8 trang 102 SBT Hình học 12: Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1) ?

Bài 1 Hệ tọa độ trong không gian SBT Toán lớp 12. Giải bài 3.5, 3.6, 3.7, 3.8 trang 102 Sách bài tập Hình học 12. Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1) ?

Bài 3.5: Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1).

Bạn đang xem: Giải Bài 3.5, 3.6, 3.7, 3.8 trang 102 SBT Hình học 12: Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1) ?

Điểm M thuộc mặt phẳng (Oxz) có tọa độ là (x; 0; z), cần phải tìm x và z. Ta có:

MA² = (1 – x)² + 1 + (1 – z)²

MB² = (–1 – x)² + 1 + z²

MC² = (3 – x)² + 1 + (–1 – z)²

Theo giả thiết M cách đều ba điểm A, B, C nên ta có  MA² = MB² = MC²

Từ đó ta tính được \(M({5 \over 6};0; – {7 \over 6})\)

Bài 3.6: Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  + \overline {BC} \)

b)\(\overrightarrow {AB}  = {1 \over 2}\overrightarrow {AC}  + {1 \over 2}\overrightarrow {AD}  + {1 \over 2}\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DB} \)

a) Ta có: \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DC} \)

            \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD} \)

Do đó: \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} \)  vì \(\overrightarrow {DC}  =  – \overrightarrow {CD} \)

b) Vì \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DB} \)  và \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CD} \) nên \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DB} \)

Do đó: \(2\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CD}  + 2\overrightarrow {DB} \)

Vậy  \(\overrightarrow {AB}  = {1 \over 2}\overrightarrow {AC}  + {1 \over 2}\overrightarrow {AD}  + {1 \over 2}\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DB} \)

Bài 3.7: Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB}  = 2\overrightarrow {MN} \)

b) \(\overrightarrow {AB}  – \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC}  – \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {PQ} \)

a) Ta có  MPNQ là hình bình hành vì \(\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {QN}  = {1 \over 2}\overrightarrow {CD} \)  và \(\overrightarrow {MQ}  = \overrightarrow {PN}  = {1 \over 2}\overrightarrow {AB} \).

Do đó  \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MQ}  + \overrightarrow {MP}  = {{\overrightarrow {AB} } \over 2} + {{\overrightarrow {CD} } \over 2}\)  hay \(2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD} \)        (1)

Mặt khác  \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DB} \)

            \(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BD} \)

Nên \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB} \)            (2)

Vì  \(\overrightarrow {DB}  =  – \overrightarrow {BD} \)

Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB}  = 2\overrightarrow {MN} \)  là đẳng thức cần chứng minh.

b) Ta có: \(\overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow {MQ}  – \overrightarrow {MP}  = {{\overrightarrow {AB} } \over 2} – {{\overrightarrow {CD} } \over 2}\)

Do đó: \(2\overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow {AB}  – \overrightarrow {CD} \)         (3)

Mặt khác:  \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB} \)

                \(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BD}  – \overrightarrow {BC} \)

Nên \(\overrightarrow {AB}  – \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC}  – \overrightarrow {BD} \)             (4)

Vì \(\overrightarrow {CB}  – ( – \overrightarrow {BC} ) = \overrightarrow 0 \)

Từ (3) và (4) ta suy ra \(\overrightarrow {AB}  – \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC}  – \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {PQ} \)  là đẳng thức cần chứng minh.

Bài 3.8: Trong không gian cho ba vecto tùy ý \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) . Gọi \(\overrightarrow u  = \overrightarrow a  – 2\overrightarrow b ,\overrightarrow v  = 3\overrightarrow b  – \overrightarrow c ,\overrightarrow {\rm{w}}  = 2\overrightarrow c  – 3\overrightarrow a \) .

Chứng tỏ rằng ba vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \)  đồng phẳng.

Muốn chứng tỏ rằng ba vecto  \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \)  đồng phẳng ta cần tìm hai số thực p và q sao cho \(\overrightarrow {\rm{w}}  = p\overrightarrow u  + q\overrightarrow v \).

Giả sử có \(\overrightarrow {\rm{w}}  = p\overrightarrow u  + q\overrightarrow v \)

\(2\overrightarrow c  – 3\overrightarrow a  = p(\overrightarrow a  – 2\overrightarrow b ) + q(3\overrightarrow b  – \overrightarrow c )\)

\(\Leftrightarrow  (3 + p)\overrightarrow a  + (3q – 2p)\overrightarrow b  – (q + 2)\overrightarrow c  = \overrightarrow 0 \)     (1)

Vì ba vecto lấy tùy ý \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) nên đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{ {\matrix{{3 + p = 0} \cr {3q – 2p = 0} \cr {q + 2 = 0} \cr} } \right. \Rightarrow  \left\{ {\matrix{{p = – 3} \cr {q = – 2} \cr} } \right.\)

Như vậy ta có:  \(\overrightarrow {\rm{w}}  =  – 3\overrightarrow u  – 2\overrightarrow v \)  nên ba vecto  \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \) đồng phẳng.

Đăng bởi: Monica.vn

Chuyên mục: Giải bài tập

[toggle title=”Xem thêm Bài 3.5, 3.6, 3.7, 3.8 trang 102 SBT Hình học 12: Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1) ?” state=”close”]
Bài 1 Hệ tọa độ trong không gian SBT Toán lớp 12. Giải bài 3.5, 3.6, 3.7, 3.8 trang 102 Sách bài tập Hình học 12. Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1) ?

Bài 3.5: Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1).

Điểm M thuộc mặt phẳng (Oxz) có tọa độ là (x; 0; z), cần phải tìm x và z. Ta có:

MA² = (1 – x)² + 1 + (1 – z)²

MB² = (–1 – x)² + 1 + z²

MC² = (3 – x)² + 1 + (–1 – z)²

Theo giả thiết M cách đều ba điểm A, B, C nên ta có  MA² = MB² = MC²

Từ đó ta tính được \(M({5 \over 6};0; – {7 \over 6})\)

Bài 3.6: Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  + \overline {BC} \)

b)\(\overrightarrow {AB}  = {1 \over 2}\overrightarrow {AC}  + {1 \over 2}\overrightarrow {AD}  + {1 \over 2}\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DB} \)

a) Ta có: \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DC} \)

            \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD} \)

Do đó: \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} \)  vì \(\overrightarrow {DC}  =  – \overrightarrow {CD} \)

b) Vì \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DB} \)  và \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CD} \) nên \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DB} \)

Do đó: \(2\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CD}  + 2\overrightarrow {DB} \)

Vậy  \(\overrightarrow {AB}  = {1 \over 2}\overrightarrow {AC}  + {1 \over 2}\overrightarrow {AD}  + {1 \over 2}\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DB} \)

Bài 3.7: Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB}  = 2\overrightarrow {MN} \)

b) \(\overrightarrow {AB}  – \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC}  – \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {PQ} \)

a) Ta có  MPNQ là hình bình hành vì \(\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {QN}  = {1 \over 2}\overrightarrow {CD} \)  và \(\overrightarrow {MQ}  = \overrightarrow {PN}  = {1 \over 2}\overrightarrow {AB} \).

Do đó  \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MQ}  + \overrightarrow {MP}  = {{\overrightarrow {AB} } \over 2} + {{\overrightarrow {CD} } \over 2}\)  hay \(2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD} \)        (1)

Mặt khác  \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DB} \)

            \(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BD} \)

Nên \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB} \)            (2)

Vì  \(\overrightarrow {DB}  =  – \overrightarrow {BD} \)

Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB}  = 2\overrightarrow {MN} \)  là đẳng thức cần chứng minh.

b) Ta có: \(\overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow {MQ}  – \overrightarrow {MP}  = {{\overrightarrow {AB} } \over 2} – {{\overrightarrow {CD} } \over 2}\)

Do đó: \(2\overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow {AB}  – \overrightarrow {CD} \)         (3)

Mặt khác:  \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB} \)

                \(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BD}  – \overrightarrow {BC} \)

Nên \(\overrightarrow {AB}  – \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC}  – \overrightarrow {BD} \)             (4)

Vì \(\overrightarrow {CB}  – ( – \overrightarrow {BC} ) = \overrightarrow 0 \)

Từ (3) và (4) ta suy ra \(\overrightarrow {AB}  – \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC}  – \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {PQ} \)  là đẳng thức cần chứng minh.

Bài 3.8: Trong không gian cho ba vecto tùy ý \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) . Gọi \(\overrightarrow u  = \overrightarrow a  – 2\overrightarrow b ,\overrightarrow v  = 3\overrightarrow b  – \overrightarrow c ,\overrightarrow {\rm{w}}  = 2\overrightarrow c  – 3\overrightarrow a \) .

Chứng tỏ rằng ba vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \)  đồng phẳng.

Muốn chứng tỏ rằng ba vecto  \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \)  đồng phẳng ta cần tìm hai số thực p và q sao cho \(\overrightarrow {\rm{w}}  = p\overrightarrow u  + q\overrightarrow v \).

Giả sử có \(\overrightarrow {\rm{w}}  = p\overrightarrow u  + q\overrightarrow v \)

\(2\overrightarrow c  – 3\overrightarrow a  = p(\overrightarrow a  – 2\overrightarrow b ) + q(3\overrightarrow b  – \overrightarrow c )\)

\(\Leftrightarrow  (3 + p)\overrightarrow a  + (3q – 2p)\overrightarrow b  – (q + 2)\overrightarrow c  = \overrightarrow 0 \)     (1)

Vì ba vecto lấy tùy ý \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) nên đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{ {\matrix{{3 + p = 0} \cr {3q – 2p = 0} \cr {q + 2 = 0} \cr} } \right. \Rightarrow  \left\{ {\matrix{{p = – 3} \cr {q = – 2} \cr} } \right.\)

Như vậy ta có:  \(\overrightarrow {\rm{w}}  =  – 3\overrightarrow u  – 2\overrightarrow v \)  nên ba vecto  \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \) đồng phẳng.

[/toggle]