Giải Bài 23, 24, 25 trang 224 Đại số 10 Nâng cao: Giải Bài ôn tập cuối năm
Bài ôn tập cuối năm. Giải bài 23, 24, 25 trang 224 SGK Đại số lớp 10 Nâng cao.Chứng minh các bất đẳng thức sau; Chứng minh rằng:
Bài 23: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) \({\sin ^2}({\pi \over 8} + \alpha ) – {\sin ^2}({\pi \over 8} – \alpha ) = {1 \over {\sqrt 2 }}\sin 2\alpha\)
Bạn đang xem: Giải Bài 23, 24, 25 trang 224 Đại số 10 Nâng cao: Giải Bài ôn tập cuối năm
b) \({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}(\alpha – {\pi \over 3}) + {\cos ^2}({{2\pi } \over 3} – \alpha ) = {3 \over 2}\)
c) \(\tan ({\pi \over 3} – \alpha )\tan \alpha \tan ({\pi \over 3} + \alpha ) = \tan 3\alpha \) (khi các biểu thức có ý nghĩa)
Ứng dụng: Tính tan100 tan500 tan1100
Đáp án
a) Ta có:
\(\eqalign{
& {\sin ^2}({\pi \over 8} + \alpha ) – {\sin ^2}({\pi \over 8} – \alpha ) \cr&= {\rm{[}}\sin ({\pi \over 8} + \alpha ) + \sin ({\pi \over 8} – \alpha ){\rm{]}}.\cr&\;\;\;\;\;{\rm{[}}\sin ({\pi \over 8} + \alpha ) – \sin ({\pi \over 8} – \alpha ){\rm{]}} \cr
& {\rm{ = (2sin}}{\pi \over 8}\cos \alpha )(2\cos {\pi \over 8}\sin \alpha ) \cr&= \sin {\pi \over 4}\sin 2\alpha = {1 \over {\sqrt 2 }}\sin 2\alpha \cr} \)
b) Chú ý rằng:
\(\left\{ \matrix{
\cos {{2\pi } \over 3} = – \cos {\pi \over 3} \hfill \cr
\sin {{2\pi } \over 3} = \sin {\pi \over 3} \hfill \cr} \right.\)
Ta có:
\(\eqalign{
& {\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}(\alpha – {\pi \over 3}) + {\cos ^2}({{2\pi } \over 3} – \alpha ) \cr
& = {\cos ^2}\alpha + {(cos\alpha \cos {\pi \over 3} + \sin \alpha \sin {\pi \over 3})^2} \cr&+ {(cos{{2\pi } \over 3}\cos \alpha + \sin \alpha \sin {{2\pi } \over 3})^2} \cr
& = {\cos ^2}\alpha + 2({1 \over 4}{\cos ^2}\alpha + {3 \over 4}{\sin ^2}\alpha ) \cr
& = {3 \over 2}({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha ) = {3 \over 2} \cr} \)
c) Ta có:
\(\eqalign{
& \tan ({\pi \over 3} – \alpha )\tan \alpha \tan ({\pi \over 3} + \alpha ) \cr
& = {{\sqrt 3 – \tan \alpha } \over {1 + \sqrt 3 \tan \alpha }}\tan \alpha {{\sqrt 3 + \tan \alpha } \over {1 – \sqrt 3 \tan \alpha }} \cr
& = {{3 – {{\tan }^2}\alpha } \over {1 – 3{{\tan }^2}\alpha }}\tan \alpha \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \cr
& \tan 3\alpha = {{\tan 2\alpha + \tan \alpha } \over {1 – \tan 2\alpha .\tan \alpha }} = {{{{2\tan \alpha } \over {1 – {{\tan }^2}\alpha }} + \tan \alpha } \over {1 – {{2\tan \alpha } \over {1 – {{\tan }^2}\alpha }}\tan \alpha }}\,\, \cr
& = {{3 – {{\tan }^2}\alpha } \over {1 – 3{{\tan }^2}\alpha }}.\tan\alpha \,\,\,\,\,\,(2) \cr} \)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
Áp dụng:
\(\eqalign{
& tan{10^0}tan{50^0}tan{110^0} \cr&= \tan ({60^0} – {50^0})\tan {50^0}\tan ({60^0} + {50^0}) \cr
& = \tan {150^0} = – \tan {30^0} = – {1 \over {\sqrt 3 }} \cr} \)
Bài 24: Chứng minh rằng:
a) \(\sin (\alpha + \beta )\sin (\alpha – \beta ) = si{n^2}\alpha – {\sin ^2}\beta =\)
\({\cos ^2}\beta – {\cos ^2}\alpha \)
b) \({{\tan \alpha + tan\beta } \over {\tan \alpha – tan\beta }} = {{\sin (\alpha + \beta )} \over {\sin (\alpha – \beta )}}\) (Khi các biểu thức có nghĩa)
Đáp án
a) Ta có:
\(\eqalign{
& \sin (\alpha + \beta )\sin (\alpha – \beta )\cr& = (\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha ).\cr&(\sin \alpha \cos \beta – \sin \beta \cos \alpha ) \cr
& = {\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\beta – {\sin ^2}\beta {\cos ^2}\alpha \cr&= {\sin ^2}\alpha (1 – {\sin ^2}\beta ) – {\sin ^2}\beta (1 – {\sin ^2}\alpha ) \cr
& = {\sin ^2}\alpha – {\sin ^2}\beta = (1 – {\cos ^2}\alpha ) – (1 – {\cos ^2}\beta ) \cr
& = {\cos ^2}\beta – {\cos ^2}\alpha \cr} \)
Chú ý: Có thể áp dụng công thức biến tích thành tổng
b) Ta có:
\(\eqalign{
& \tan \alpha + tan\beta = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} + {{\sin \beta } \over {\cos \beta }} \cr
& = {{\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha } \over {\cos \alpha \cos \beta }} = {{\sin (\alpha + \beta )} \over {\cos \alpha \cos \beta }} \cr} \)
Tương tự: \(\tan \alpha – \tan \beta = {{\sin (\alpha – \beta )} \over {\cos \alpha \cos \beta }}\)
Do đó: \({{\tan \alpha + tan\beta } \over {\tan \alpha – tan\beta }} = {{\sin (\alpha + \beta )} \over {\sin (\alpha – \beta )}}\)
Bài 25: Tìm các số c và β sao cho: \(sinα + cosα =c.sin(α + β)\) với mọi α
Đáp án
Nếu có c và β để cho sinα + cosα =c.sin(α + β) với mọi α thì khi α = 0, ta được: 1 = Csinβ
Khi \(\alpha = {\pi \over 2} \Rightarrow 1 = C\cos \beta \)
Từ đó: C ≠ 0; \(\sin \beta = \cos \beta = {1 \over C}\)
Vậy:
\(\left\{ \matrix{
\beta = {\pi \over 4} + k2\pi \,\,(k \in Z) \hfill \cr
C = \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)
hoặc
\(\left\{ \matrix{
\beta = – {{3\pi } \over 4} + k2\pi \,\,(k \in Z) \hfill \cr
C = – \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)
Thử lại với cả hai trường hợp trên thì \(sinα + cosα =c.sin(α + β)\) với mọi \(α\)
Dùng công thức biến đổi tổng thành tích, ta có:
\(\eqalign{
& \sin \alpha + \cos \alpha\cr& = \sin \alpha + \sin (\alpha + {\pi \over 2}) = 2\sin (\alpha + {\pi \over 4})cos{\pi \over 4} \cr
& = \sqrt 2 \sin (\alpha + {\pi \over 4}) \cr
& \sin \alpha + \cos \alpha = \sin \alpha – \sin ({{3\pi } \over 2} – \alpha )\cr& = 2\cos ({{3\pi } \over 4})\sin (\alpha – {{3\pi } \over 4}) \cr
& = – \sqrt 2 \sin (\alpha – {{3\pi } \over 4}) \cr} \)
Đăng bởi: Monica.vn
Chuyên mục: Giải bài tập
[toggle title=”Xem thêm Bài 23, 24, 25 trang 224 Đại số 10 Nâng cao: Bài ôn tập cuối năm” state=”close”] Bài ôn tập cuối năm. Giải bài 23, 24, 25 trang 224 SGK Đại số lớp 10 Nâng cao.Chứng minh các bất đẳng thức sau; Chứng minh rằng:
Bài 23: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) \({\sin ^2}({\pi \over 8} + \alpha ) – {\sin ^2}({\pi \over 8} – \alpha ) = {1 \over {\sqrt 2 }}\sin 2\alpha\)
b) \({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}(\alpha – {\pi \over 3}) + {\cos ^2}({{2\pi } \over 3} – \alpha ) = {3 \over 2}\)
c) \(\tan ({\pi \over 3} – \alpha )\tan \alpha \tan ({\pi \over 3} + \alpha ) = \tan 3\alpha \) (khi các biểu thức có ý nghĩa)
Ứng dụng: Tính tan100 tan500 tan1100
Đáp án
a) Ta có:
\(\eqalign{
& {\sin ^2}({\pi \over 8} + \alpha ) – {\sin ^2}({\pi \over 8} – \alpha ) \cr&= {\rm{[}}\sin ({\pi \over 8} + \alpha ) + \sin ({\pi \over 8} – \alpha ){\rm{]}}.\cr&\;\;\;\;\;{\rm{[}}\sin ({\pi \over 8} + \alpha ) – \sin ({\pi \over 8} – \alpha ){\rm{]}} \cr
& {\rm{ = (2sin}}{\pi \over 8}\cos \alpha )(2\cos {\pi \over 8}\sin \alpha ) \cr&= \sin {\pi \over 4}\sin 2\alpha = {1 \over {\sqrt 2 }}\sin 2\alpha \cr} \)
b) Chú ý rằng:
\(\left\{ \matrix{
\cos {{2\pi } \over 3} = – \cos {\pi \over 3} \hfill \cr
\sin {{2\pi } \over 3} = \sin {\pi \over 3} \hfill \cr} \right.\)
Ta có:
\(\eqalign{
& {\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}(\alpha – {\pi \over 3}) + {\cos ^2}({{2\pi } \over 3} – \alpha ) \cr
& = {\cos ^2}\alpha + {(cos\alpha \cos {\pi \over 3} + \sin \alpha \sin {\pi \over 3})^2} \cr&+ {(cos{{2\pi } \over 3}\cos \alpha + \sin \alpha \sin {{2\pi } \over 3})^2} \cr
& = {\cos ^2}\alpha + 2({1 \over 4}{\cos ^2}\alpha + {3 \over 4}{\sin ^2}\alpha ) \cr
& = {3 \over 2}({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha ) = {3 \over 2} \cr} \)
c) Ta có:
\(\eqalign{
& \tan ({\pi \over 3} – \alpha )\tan \alpha \tan ({\pi \over 3} + \alpha ) \cr
& = {{\sqrt 3 – \tan \alpha } \over {1 + \sqrt 3 \tan \alpha }}\tan \alpha {{\sqrt 3 + \tan \alpha } \over {1 – \sqrt 3 \tan \alpha }} \cr
& = {{3 – {{\tan }^2}\alpha } \over {1 – 3{{\tan }^2}\alpha }}\tan \alpha \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \cr
& \tan 3\alpha = {{\tan 2\alpha + \tan \alpha } \over {1 – \tan 2\alpha .\tan \alpha }} = {{{{2\tan \alpha } \over {1 – {{\tan }^2}\alpha }} + \tan \alpha } \over {1 – {{2\tan \alpha } \over {1 – {{\tan }^2}\alpha }}\tan \alpha }}\,\, \cr
& = {{3 – {{\tan }^2}\alpha } \over {1 – 3{{\tan }^2}\alpha }}.\tan\alpha \,\,\,\,\,\,(2) \cr} \)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
Áp dụng:
\(\eqalign{
& tan{10^0}tan{50^0}tan{110^0} \cr&= \tan ({60^0} – {50^0})\tan {50^0}\tan ({60^0} + {50^0}) \cr
& = \tan {150^0} = – \tan {30^0} = – {1 \over {\sqrt 3 }} \cr} \)
Bài 24: Chứng minh rằng:
a) \(\sin (\alpha + \beta )\sin (\alpha – \beta ) = si{n^2}\alpha – {\sin ^2}\beta =\)
\({\cos ^2}\beta – {\cos ^2}\alpha \)
b) \({{\tan \alpha + tan\beta } \over {\tan \alpha – tan\beta }} = {{\sin (\alpha + \beta )} \over {\sin (\alpha – \beta )}}\) (Khi các biểu thức có nghĩa)
Đáp án
a) Ta có:
\(\eqalign{
& \sin (\alpha + \beta )\sin (\alpha – \beta )\cr& = (\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha ).\cr&(\sin \alpha \cos \beta – \sin \beta \cos \alpha ) \cr
& = {\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\beta – {\sin ^2}\beta {\cos ^2}\alpha \cr&= {\sin ^2}\alpha (1 – {\sin ^2}\beta ) – {\sin ^2}\beta (1 – {\sin ^2}\alpha ) \cr
& = {\sin ^2}\alpha – {\sin ^2}\beta = (1 – {\cos ^2}\alpha ) – (1 – {\cos ^2}\beta ) \cr
& = {\cos ^2}\beta – {\cos ^2}\alpha \cr} \)
Chú ý: Có thể áp dụng công thức biến tích thành tổng
b) Ta có:
\(\eqalign{
& \tan \alpha + tan\beta = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} + {{\sin \beta } \over {\cos \beta }} \cr
& = {{\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha } \over {\cos \alpha \cos \beta }} = {{\sin (\alpha + \beta )} \over {\cos \alpha \cos \beta }} \cr} \)
Tương tự: \(\tan \alpha – \tan \beta = {{\sin (\alpha – \beta )} \over {\cos \alpha \cos \beta }}\)
Do đó: \({{\tan \alpha + tan\beta } \over {\tan \alpha – tan\beta }} = {{\sin (\alpha + \beta )} \over {\sin (\alpha – \beta )}}\)
Bài 25: Tìm các số c và β sao cho: \(sinα + cosα =c.sin(α + β)\) với mọi α
Đáp án
Nếu có c và β để cho sinα + cosα =c.sin(α + β) với mọi α thì khi α = 0, ta được: 1 = Csinβ
Khi \(\alpha = {\pi \over 2} \Rightarrow 1 = C\cos \beta \)
Từ đó: C ≠ 0; \(\sin \beta = \cos \beta = {1 \over C}\)
Vậy:
\(\left\{ \matrix{
\beta = {\pi \over 4} + k2\pi \,\,(k \in Z) \hfill \cr
C = \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)
hoặc
\(\left\{ \matrix{
\beta = – {{3\pi } \over 4} + k2\pi \,\,(k \in Z) \hfill \cr
C = – \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)
Thử lại với cả hai trường hợp trên thì \(sinα + cosα =c.sin(α + β)\) với mọi \(α\)
Dùng công thức biến đổi tổng thành tích, ta có:
\(\eqalign{
& \sin \alpha + \cos \alpha\cr& = \sin \alpha + \sin (\alpha + {\pi \over 2}) = 2\sin (\alpha + {\pi \over 4})cos{\pi \over 4} \cr
& = \sqrt 2 \sin (\alpha + {\pi \over 4}) \cr
& \sin \alpha + \cos \alpha = \sin \alpha – \sin ({{3\pi } \over 2} – \alpha )\cr& = 2\cos ({{3\pi } \over 4})\sin (\alpha – {{3\pi } \over 4}) \cr
& = – \sqrt 2 \sin (\alpha – {{3\pi } \over 4}) \cr} \)
[/toggle]
