Giải Bài 23, 24, 25, 26 trang 65, 66 Sách Hình học 10 nâng cao: Hệ thức lượng trong tam giác
Bài 3 Hệ thức lượng trong tam giác. Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 65, 66 SGK Hình học lớp 10 nâng cao. Chứng minh rằng bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giá; Cho hình bình hành
Bài 23: Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác không vuông \(ABC\). Chứng minh rằng bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác \(ABC,\,HBC,\,HCA,\,HAB\) bằng nhau.
Bạn đang xem: Giải Bài 23, 24, 25, 26 trang 65, 66 Sách Hình học 10 nâng cao: Hệ thức lượng trong tam giác
Trường hợp 1: Tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn.
Gọi \(R,\,{R_1}\) lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC, HBC\).
Áp dụng định lí sin ta có
\({{BC} \over {\sin A}} = 2R\,;\,\,{{BC} \over {\sin \widehat {BHC}}} = 2{R_1}\)
Mà \(\widehat {BHC} + \widehat A = \widehat {{B’}H{C’}} + \widehat A = {180^0}\) (Vì \(\widehat {BHC}\) và \(\widehat {{B’}H{C’}}\) đối đỉnh)
\( \Rightarrow \,\,\sin A = \sin \widehat {BHC}\)
Do đó \(2R = 2{R_1}\,\, \Rightarrow \,\,R = {R_1}.\)
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HBC\) bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Tương tự bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HCA, HAB\) bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Trường hợp 2: Tam giác \(ABC\) có góc tù.
Ta có \({{BC} \over {\sin \widehat{BAC}}} = 2R\,;\,\,{{BC} \over {\sin \widehat {BHC}}} = 2{R_1}\)
Mà \(\widehat {B’AC’} + \widehat {CHB} = {180^0}\,\, \Rightarrow \,\,\sin \widehat{BAC} =\sin \widehat{B’AC’}= \sin \widehat {CHB}\) (Vì \(\widehat{BAC}\) và \(\widehat{B’AC’}\) đối đỉnh)
\( \Rightarrow \,\,R = {R_1}\)
Tương tự ta chứng minh được bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HCA, HAB\) bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Bài 24: Tam giác \(ABC\) có \(a = 7,\,b = 8,\,c = 6\). Tính \({m_a}\).
Áp dụng công thức tính \({m_a}\) ta có
\({m_a}^2 = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} – {{{a^2}} \over 4} = {{{8^2} + {6^2}} \over 2} – {{{7^2}} \over 4} = {{151} \over 4}\,\,\,\, \Rightarrow \,{m_a} \approx 6,1\)
Bài 25: Tam giác \(ABC\) có \(a = 5,\,b = 4,\,c = 3\). Lấy điểm \(D\) đối xứng với \(B\) qua \(C\). Tính độ dài \(AD\).
Áp dụng công thức tính trung tuyến \(AC\) trong tam giác \(ABD\) ta có
\(A{C^2} = {{A{B^2} + A{D^2}} \over 2} – {{B{D^2}} \over 4}\,\,\, \Rightarrow \,\,{4^2} = {{{3^2} + A{D^2}} \over 2} – {{{{10}^2}} \over 4}\,\,\, \Rightarrow \,A{D^2} = 73\,\,\, \Rightarrow \,AD = \sqrt {73} \approx 8,5.\)
Bài 26: Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(AB = 4,\,BC = 5,\,BD = 7\). Tính \(AC\).
Gọi \(O\) là tâm hình bình hành.
Áp dụng công thức tính trung tuyến \(AO\) của tam giác \(ABD\), ta có
\(\eqalign{
& A{O^2} = {{A{B^2} + A{D^2}} \over 2} – {{B{D^2}} \over 4}\,\,\, = {{{4^2} + {5^2}} \over 2} – {{{7^2}} \over 4} = {{33} \over 4}\,\,\,\cr& \Rightarrow \,AO = \sqrt {{{33} \over 4}} = {{\sqrt {33} } \over 2} \cr
& \Rightarrow \,AC = 2AO = \sqrt {33} \approx 5,8 \cr} \)
Đăng bởi: Monica.vn
Chuyên mục: Giải bài tập
[toggle title=”Xem thêm Bài 23, 24, 25, 26 trang 65, 66 Sách Hình học 10 nâng cao: Hệ thức lượng trong tam giác” state=”close”] Bài 3 Hệ thức lượng trong tam giác. Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 65, 66 SGK Hình học lớp 10 nâng cao. Chứng minh rằng bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giá; Cho hình bình hành
Bài 23: Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác không vuông \(ABC\). Chứng minh rằng bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác \(ABC,\,HBC,\,HCA,\,HAB\) bằng nhau.
Trường hợp 1: Tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn.
Gọi \(R,\,{R_1}\) lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC, HBC\).
Áp dụng định lí sin ta có
\({{BC} \over {\sin A}} = 2R\,;\,\,{{BC} \over {\sin \widehat {BHC}}} = 2{R_1}\)
Mà \(\widehat {BHC} + \widehat A = \widehat {{B’}H{C’}} + \widehat A = {180^0}\) (Vì \(\widehat {BHC}\) và \(\widehat {{B’}H{C’}}\) đối đỉnh)
\( \Rightarrow \,\,\sin A = \sin \widehat {BHC}\)
Do đó \(2R = 2{R_1}\,\, \Rightarrow \,\,R = {R_1}.\)
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HBC\) bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Tương tự bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HCA, HAB\) bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Trường hợp 2: Tam giác \(ABC\) có góc tù.
Ta có \({{BC} \over {\sin \widehat{BAC}}} = 2R\,;\,\,{{BC} \over {\sin \widehat {BHC}}} = 2{R_1}\)
Mà \(\widehat {B’AC’} + \widehat {CHB} = {180^0}\,\, \Rightarrow \,\,\sin \widehat{BAC} =\sin \widehat{B’AC’}= \sin \widehat {CHB}\) (Vì \(\widehat{BAC}\) và \(\widehat{B’AC’}\) đối đỉnh)
\( \Rightarrow \,\,R = {R_1}\)
Tương tự ta chứng minh được bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HCA, HAB\) bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Bài 24: Tam giác \(ABC\) có \(a = 7,\,b = 8,\,c = 6\). Tính \({m_a}\).
Áp dụng công thức tính \({m_a}\) ta có
\({m_a}^2 = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} – {{{a^2}} \over 4} = {{{8^2} + {6^2}} \over 2} – {{{7^2}} \over 4} = {{151} \over 4}\,\,\,\, \Rightarrow \,{m_a} \approx 6,1\)
Bài 25: Tam giác \(ABC\) có \(a = 5,\,b = 4,\,c = 3\). Lấy điểm \(D\) đối xứng với \(B\) qua \(C\). Tính độ dài \(AD\).
Áp dụng công thức tính trung tuyến \(AC\) trong tam giác \(ABD\) ta có
\(A{C^2} = {{A{B^2} + A{D^2}} \over 2} – {{B{D^2}} \over 4}\,\,\, \Rightarrow \,\,{4^2} = {{{3^2} + A{D^2}} \over 2} – {{{{10}^2}} \over 4}\,\,\, \Rightarrow \,A{D^2} = 73\,\,\, \Rightarrow \,AD = \sqrt {73} \approx 8,5.\)
Bài 26: Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(AB = 4,\,BC = 5,\,BD = 7\). Tính \(AC\).
Gọi \(O\) là tâm hình bình hành.
Áp dụng công thức tính trung tuyến \(AO\) của tam giác \(ABD\), ta có
\(\eqalign{
& A{O^2} = {{A{B^2} + A{D^2}} \over 2} – {{B{D^2}} \over 4}\,\,\, = {{{4^2} + {5^2}} \over 2} – {{{7^2}} \over 4} = {{33} \over 4}\,\,\,\cr& \Rightarrow \,AO = \sqrt {{{33} \over 4}} = {{\sqrt {33} } \over 2} \cr
& \Rightarrow \,AC = 2AO = \sqrt {33} \approx 5,8 \cr} \)
[/toggle]
