Giải Bài 18, 19, 20 trang 90 SGK Hình học 10 Nâng cao: Khoảng cách và góc
Bài 3 Khoảng cách và góc. Giải bài 18, 19, 20 trang 90 SGK Hình học lớp 10 Nâng cao. Viết phương trình đường thẳng đi qua P đồng thời cách đều A và B; Cho hai đường thẳng
Bài 18: Cho ba điểm \(A(3;0),B( – 5;4)\) và \(P(10;2)\) . Viết phương trình đường thẳng đi qua P đồng thời cách đều A và B.
Bạn đang xem: Giải Bài 18, 19, 20 trang 90 SGK Hình học 10 Nâng cao: Khoảng cách và góc
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua P có dạng:
\(\eqalign{
& a\left( {x – 10} \right) + b\left( {y – 2} \right) = 0\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right) \cr
& \Delta :ax + by – 10a – 2b = 0\,\,\,\,\left( * \right) \cr} \)
Ta có: \(d\left( {A,\Delta } \right) = d\left( {B,\Delta } \right)\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {{|3a + 0.b – 10a – 2b|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} =\cr&\;\;\;\;\; {{| – 5a + 4b – 10a – 2b|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \cr
& \Leftrightarrow |7a + 2b| = |15a – 2b| \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
7a + 2b = 15a – 2b \hfill \cr
7a + 2b = – 15a + 2b \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
8a – 4b = 0 \hfill \cr
22a = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
b = 2a \hfill \cr
a = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \)
+) Với b = 2a, chọn a = 1, b = 2 ta có:
\(\Delta ???? + 2y – 14 = 0\)
+) Với a = 0 , chọn b = 1 ta có:
\(\Delta :y – 2 = 0.\)
Bài 19: Cho điểm M(2, 3) . Viết phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ ở A và B sao cho là tam giác vuông cân tại đỉnh M.
Giả sử \(A\left( {a;0} \right);B\left( {0;b} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {MA} \left( {a – 2; – 3} \right);\overrightarrow {MB} \left( { – 2;b – 3} \right).\)
\(\Delta ABM\) vuông cân tại M
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = 0 \hfill \cr
MA = MB \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
– 2\left( {a – 2} \right) – 3\left( {b – 3} \right) = 0 \hfill \cr
{\left( {a – 2} \right)^2} + 9 = 4 + {\left( {b – 3} \right)^2} \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2a + 3b = 13\,\,\,\left( 1 \right)\, \hfill \cr
{\left( {a – 2} \right)^2} + 5 = {\left( {b – 3} \right)^2}\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)
Từ (1) suy ra \(b = {{13 – 2a} \over 3}\) thay vào (2) ta được:
\(\eqalign{
& {\left( {a – 2} \right)^2} + 5 = {\left( {{{13 – 2a} \over 3} – 3} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow {a^2} – 4a + 4 + 5 = {{{{\left( {4 – 2a} \right)}^2}} \over 9} \cr
& \Leftrightarrow 9{a^2} – 36a + 81 = 16 – 16a + 4{a^2} \cr
& \Leftrightarrow 5{a^2} – 20a + 65 = 0 \cr} \)
Phương trình vô nghiệm.
Vậy không tồn tại tam giác ABM vuông cân tại M.
Bài 20: Cho hai đường thẳng
\(\eqalign{
& {\Delta _1}:x + 2y – 3 = 0 \cr
& {\Delta _2}:3x – y + 2 = 0 \cr} \)
Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm P(3, 1) và cắt lần lượt ở A,B sao cho \({\Delta _1},{\Delta _2}\) tạo với \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) một tam giác cân có cạnh đáy là AB.
\({\Delta _1}\) có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1;2} \right).\)
\({\Delta _2}\) có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_2}} \left( {3; – 1} \right).\)
Giả sử \(\Delta \) qua P có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right);\,\Delta \) cắt \({\Delta _1},{\Delta _2}\) ở A và B sao cho tạo với một tam giác cân có đáy AB thì góc hợp bởi \(\Delta \) với \({\Delta _1}\)và góc hợp bởi \(\Delta \) với \({\Delta _2}\) bằng nhau.
Do đó:
\(\eqalign{
& {{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = {{\left| {\overrightarrow {{n_2}} .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} \cr
& \Leftrightarrow {{|a + 2b|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = {{|3a – b|} \over {\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 2 |a + 2b| = |3a – b| \cr
& \Leftrightarrow 2{\left( {a + 2b} \right)^2} = {\left( {3a – b} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow {a^2} – 2ab – {b^2} = 0 \cr} \)
Chọn \(b = 1\) ta có: \({a^2} – 2a – 1 = 0 \Leftrightarrow a = 1 \pm \sqrt 2 \)
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán
\(\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\left( {x – 3} \right) + \left( {y – 1} \right) = 0;\)
\(\left( {1 – \sqrt 2 } \right)\left( {x – 3} \right) + \left( {y – 1} \right) = 0.\)
Đăng bởi: Monica.vn
Chuyên mục: Giải bài tập
[toggle title=”Xem thêm Bài 18, 19, 20 trang 90 SGK Hình học 10 Nâng cao: Khoảng cách và góc” state=”close”]Bài 3 Khoảng cách và góc. Giải bài 18, 19, 20 trang 90 SGK Hình học lớp 10 Nâng cao. Viết phương trình đường thẳng đi qua P đồng thời cách đều A và B; Cho hai đường thẳng
Bài 18: Cho ba điểm \(A(3;0),B( – 5;4)\) và \(P(10;2)\) . Viết phương trình đường thẳng đi qua P đồng thời cách đều A và B.
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua P có dạng:
\(\eqalign{
& a\left( {x – 10} \right) + b\left( {y – 2} \right) = 0\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right) \cr
& \Delta :ax + by – 10a – 2b = 0\,\,\,\,\left( * \right) \cr} \)
Ta có: \(d\left( {A,\Delta } \right) = d\left( {B,\Delta } \right)\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {{|3a + 0.b – 10a – 2b|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} =\cr&\;\;\;\;\; {{| – 5a + 4b – 10a – 2b|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \cr
& \Leftrightarrow |7a + 2b| = |15a – 2b| \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
7a + 2b = 15a – 2b \hfill \cr
7a + 2b = – 15a + 2b \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
8a – 4b = 0 \hfill \cr
22a = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
b = 2a \hfill \cr
a = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \)
+) Với b = 2a, chọn a = 1, b = 2 ta có:
\(\Delta ???? + 2y – 14 = 0\)
+) Với a = 0 , chọn b = 1 ta có:
\(\Delta :y – 2 = 0.\)
Bài 19: Cho điểm M(2, 3) . Viết phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ ở A và B sao cho là tam giác vuông cân tại đỉnh M.
Giả sử \(A\left( {a;0} \right);B\left( {0;b} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {MA} \left( {a – 2; – 3} \right);\overrightarrow {MB} \left( { – 2;b – 3} \right).\)
\(\Delta ABM\) vuông cân tại M
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = 0 \hfill \cr
MA = MB \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
– 2\left( {a – 2} \right) – 3\left( {b – 3} \right) = 0 \hfill \cr
{\left( {a – 2} \right)^2} + 9 = 4 + {\left( {b – 3} \right)^2} \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2a + 3b = 13\,\,\,\left( 1 \right)\, \hfill \cr
{\left( {a – 2} \right)^2} + 5 = {\left( {b – 3} \right)^2}\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)
Từ (1) suy ra \(b = {{13 – 2a} \over 3}\) thay vào (2) ta được:
\(\eqalign{
& {\left( {a – 2} \right)^2} + 5 = {\left( {{{13 – 2a} \over 3} – 3} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow {a^2} – 4a + 4 + 5 = {{{{\left( {4 – 2a} \right)}^2}} \over 9} \cr
& \Leftrightarrow 9{a^2} – 36a + 81 = 16 – 16a + 4{a^2} \cr
& \Leftrightarrow 5{a^2} – 20a + 65 = 0 \cr} \)
Phương trình vô nghiệm.
Vậy không tồn tại tam giác ABM vuông cân tại M.
Bài 20: Cho hai đường thẳng
\(\eqalign{
& {\Delta _1}:x + 2y – 3 = 0 \cr
& {\Delta _2}:3x – y + 2 = 0 \cr} \)
Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm P(3, 1) và cắt lần lượt ở A,B sao cho \({\Delta _1},{\Delta _2}\) tạo với \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) một tam giác cân có cạnh đáy là AB.
\({\Delta _1}\) có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1;2} \right).\)
\({\Delta _2}\) có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_2}} \left( {3; – 1} \right).\)
Giả sử \(\Delta \) qua P có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right);\,\Delta \) cắt \({\Delta _1},{\Delta _2}\) ở A và B sao cho tạo với một tam giác cân có đáy AB thì góc hợp bởi \(\Delta \) với \({\Delta _1}\)và góc hợp bởi \(\Delta \) với \({\Delta _2}\) bằng nhau.
Do đó:
\(\eqalign{
& {{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = {{\left| {\overrightarrow {{n_2}} .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} \cr
& \Leftrightarrow {{|a + 2b|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = {{|3a – b|} \over {\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 2 |a + 2b| = |3a – b| \cr
& \Leftrightarrow 2{\left( {a + 2b} \right)^2} = {\left( {3a – b} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow {a^2} – 2ab – {b^2} = 0 \cr} \)
Chọn \(b = 1\) ta có: \({a^2} – 2a – 1 = 0 \Leftrightarrow a = 1 \pm \sqrt 2 \)
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán
\(\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\left( {x – 3} \right) + \left( {y – 1} \right) = 0;\)
\(\left( {1 – \sqrt 2 } \right)\left( {x – 3} \right) + \left( {y – 1} \right) = 0.\)
[/toggle]
