Giải Bài 1.17, 1.18, 1.19 trang 16 SBT Giải tích 12:  Xác định giá trị m để hàm số sau không có cực trị ?

Bài 2 Cực trị hàm số  SBT Toán lớp 12. Giải bài 1.17, 1.18, 1.19 trang 16 Sách bài tập Giải tích 12. Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay đạt cực đại? Tính cực trị tương ứng ?;  Xác định giá trị m để hàm số sau không có cực trị ?

Bài 1.17: Xác định m để hàm số: \(y = {x^3} – m{x^2} + (m – {2 \over 3})x + 5\)  có cực trị tại x = 1. Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay đạt cực đại? Tính cực trị tương ứng.

Bạn đang xem: Giải Bài 1.17, 1.18, 1.19 trang 16 SBT Giải tích 12:  Xác định giá trị m để hàm số sau không có cực trị ?

 \(y = {x^3} – m{x^2} + (m – {2 \over 3})x + 5\)

Ta biết hàm số y = f(x) có cực trị khi phương trình  y’ = 0  có nghiệm và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.

Ta có:

Xét  y’ = 0, ta có: \(y’ = 3{x^2} – 2mx + (m – {2 \over 3})\)

                       ∆’ > 0  khi m < 1 hoặc m > 2                    (*)

Để hàm số có cực trị tại x = 1 thì

\(y'(1) = 3 – 2m + m – {2 \over 3} = 0 <  =  > m = {7 \over 3}\) , thỏa mãn điều kiện  (*)

Với \(m = {7 \over 3}\) thì hàm số đã cho trở thành:

\(y = {x^3} – {7 \over 3}{x^2} + {5 \over 3}x + 5\)

Ta có:  \(\eqalign{
& y’ = 3{x^2} – {{14} \over 3}x + {5 \over 3} \cr
& y” = 6x – {{14} \over 3} \cr} \)

Vì \(y”(1) = 6 – {{14} \over 3} > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và  \({y_{CT}} = {y_{\left( 1 \right)}} = {{16} \over 3}.\)

Bài 1.18: Chứng minh rằng hàm số: 

\(f(x) = \left\{ \matrix{
– 2x,\forall x \ge 0 \hfill \cr
\sin {x \over 2},\forall x < 0 \hfill \cr} \right.\)                             Không có đạo hàm tại x = 0 nhưng đạt cực đại tại điểm đó.

Hàm số:

\(f(x) = \left\{ \matrix{
– 2x,\forall x \ge 0 \hfill \cr
\sin {x \over 2},\forall x < 0 \hfill \cr} \right.\)    

Không có đạo hàm tại x = 0 vì:

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f(x) – f(0)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{ – 2x} \over x} = – 2 \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f(x) – f(0)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{ – 2x} \over x} = – 2 \cr} \)

Mặt khác, với  x < 0  thì \(y’ = {1 \over 2}\cos {x \over 2}\) , với x > 0 thì y’ = -2 < 0

Bảng biến thiên:

 Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = y(0) = 0.

Bài 1.19: Xác định giá trị m để hàm số sau không có cực trị.

\(y = {{{x^2} + 2mx – 3} \over {x – m}}\) 

Hàm số không có cực trị khi đạo hàm của nó không đổi dấu trên tập xác định \(D=\mathbb R\backslash {\rm{\{ }}m{\rm{\} }}\)

Ta có:  \(\eqalign{
& y = {{{x^2} + 2mx – 3} \over {x – m}} \cr
& y’ = {{(2x + 2m)(x – m) – ({x^2} + 2mx – 3)} \over {{{(x – m)}^2}}} \cr
& = {{2{x^2} – 2{m^2} – {x^2} – 2mx + 3} \over {{{(x – m)}^2}}} = {{{x^2} – 2mx – 2{m^2} + 3} \over {{{(x – m)}^2}}} \cr} \)

Xét  g(x) = x² – 2mx – 2m² + 3

        ∆’_g = m² + 2m² – 3 = 3(m² – 1) ;

     ∆’_g ≤ 0  khi – 1 ≤ m ≤ 1.

Khi – 1 ≤ m ≤ 1 thì phương trình g(x) = 0 vô nghiệm hay y’ = 0 vô nghiệm và y’  > 0 trên tập xác định. Khi đó, hàm số không có cực trị.

Khi m = 1 hoặc m = -1, hàm số đã cho trở thành y = x  + 3 (với x ≠ 1) hoặc y = x – 3 (với x ≠ – 1) Các hàm số này không có cực trị.

Vậy hàm số đã cho không có cực trị khi – 1 ≤ m ≤ 1.

Đăng bởi: Monica.vn

Chuyên mục: Giải bài tập

[toggle title=”Xem thêm Bài 1.17, 1.18, 1.19 trang 16 SBT Giải tích 12:  Xác định giá trị m để hàm số sau không có cực trị ?” state=”close”]Bài 2 Cực trị hàm số  SBT Toán lớp 12. Giải bài 1.17, 1.18, 1.19 trang 16 Sách bài tập Giải tích 12. Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay đạt cực đại? Tính cực trị tương ứng ?;  Xác định giá trị m để hàm số sau không có cực trị ?

Bài 1.17: Xác định m để hàm số: \(y = {x^3} – m{x^2} + (m – {2 \over 3})x + 5\)  có cực trị tại x = 1. Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay đạt cực đại? Tính cực trị tương ứng.

 \(y = {x^3} – m{x^2} + (m – {2 \over 3})x + 5\)

Ta biết hàm số y = f(x) có cực trị khi phương trình  y’ = 0  có nghiệm và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.

Ta có:

Xét  y’ = 0, ta có: \(y’ = 3{x^2} – 2mx + (m – {2 \over 3})\)

                       ∆’ > 0  khi m < 1 hoặc m > 2                    (*)

Để hàm số có cực trị tại x = 1 thì

\(y'(1) = 3 – 2m + m – {2 \over 3} = 0 <  =  > m = {7 \over 3}\) , thỏa mãn điều kiện  (*)

Với \(m = {7 \over 3}\) thì hàm số đã cho trở thành:

\(y = {x^3} – {7 \over 3}{x^2} + {5 \over 3}x + 5\)

Ta có:  \(\eqalign{
& y’ = 3{x^2} – {{14} \over 3}x + {5 \over 3} \cr
& y” = 6x – {{14} \over 3} \cr} \)

Vì \(y”(1) = 6 – {{14} \over 3} > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và  \({y_{CT}} = {y_{\left( 1 \right)}} = {{16} \over 3}.\)

Bài 1.18: Chứng minh rằng hàm số: 

\(f(x) = \left\{ \matrix{
– 2x,\forall x \ge 0 \hfill \cr
\sin {x \over 2},\forall x < 0 \hfill \cr} \right.\)                             Không có đạo hàm tại x = 0 nhưng đạt cực đại tại điểm đó.

Hàm số:

\(f(x) = \left\{ \matrix{
– 2x,\forall x \ge 0 \hfill \cr
\sin {x \over 2},\forall x < 0 \hfill \cr} \right.\)    

Không có đạo hàm tại x = 0 vì:

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f(x) – f(0)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{ – 2x} \over x} = – 2 \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f(x) – f(0)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{ – 2x} \over x} = – 2 \cr} \)

Mặt khác, với  x < 0  thì \(y’ = {1 \over 2}\cos {x \over 2}\) , với x > 0 thì y’ = -2 < 0

Bảng biến thiên:

 Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = y(0) = 0.

Bài 1.19: Xác định giá trị m để hàm số sau không có cực trị.

\(y = {{{x^2} + 2mx – 3} \over {x – m}}\) 

Hàm số không có cực trị khi đạo hàm của nó không đổi dấu trên tập xác định \(D=\mathbb R\backslash {\rm{\{ }}m{\rm{\} }}\)

Ta có:  \(\eqalign{
& y = {{{x^2} + 2mx – 3} \over {x – m}} \cr
& y’ = {{(2x + 2m)(x – m) – ({x^2} + 2mx – 3)} \over {{{(x – m)}^2}}} \cr
& = {{2{x^2} – 2{m^2} – {x^2} – 2mx + 3} \over {{{(x – m)}^2}}} = {{{x^2} – 2mx – 2{m^2} + 3} \over {{{(x – m)}^2}}} \cr} \)

Xét  g(x) = x² – 2mx – 2m² + 3

        ∆’_g = m² + 2m² – 3 = 3(m² – 1) ;

     ∆’_g ≤ 0  khi – 1 ≤ m ≤ 1.

Khi – 1 ≤ m ≤ 1 thì phương trình g(x) = 0 vô nghiệm hay y’ = 0 vô nghiệm và y’  > 0 trên tập xác định. Khi đó, hàm số không có cực trị.

Khi m = 1 hoặc m = -1, hàm số đã cho trở thành y = x  + 3 (với x ≠ 1) hoặc y = x – 3 (với x ≠ – 1) Các hàm số này không có cực trị.

Vậy hàm số đã cho không có cực trị khi – 1 ≤ m ≤ 1.

[/toggle]