Trắc nghiệm ôn tập

Cho hình vuông ABCD cạnh (a) trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại A ta lấy điểm S di động.Hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD lần lượt là H, K. Thể tích lớn nhất của tứ diện ACHK bằng

Câu hỏi:

Cho hình vuông ABCD cạnh \(a\) trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại A ta lấy điểm S di động. Hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD lần lượt là H, K. Thể tích lớn nhất của tứ diện ACHK bằng

A.
\(\frac{{{a^3}}}{6}.\)

B.
\(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}.\)

C.
\(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{32}}.\)

D.
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}.\)

Đáp án đúng: D

Bạn đang xem: Cho hình vuông ABCD cạnh (a) trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại A ta lấy điểm S di động.Hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD lần lượt là H, K. Thể tích lớn nhất của tứ diện ACHK bằng

Tham khảo hình vẽ. Ta sẽ sử dụng công thức \(V = \frac{1}{6}a.b.d\left( {a,b} \right).\sin \left( {a,b} \right).\)

Đặt \(SA = x\,\,\left( {x > 0} \right).\) Tính được \(KH = \frac{{{x^2}a\sqrt 2 }}{{{a^2} + {x^2}}},IH = \frac{{{a^2}x}}{{{a^2} + {x^2}}}.\)

Chứng minh được \(HI = d\left( {KH,AC} \right)\) và \(AC \bot HK.\)

Khi đó \({V_{ACHK}} = \frac{1}{6}AC.KH.HI = \frac{1}{6}.a\sqrt 2 .\frac{{{x^2}a\sqrt 2 }}{{{a^2} + {x^2}}}.\frac{{{a^2}x}}{{{a^2} + {x^2}}} = \frac{{{a^4}}}{3}.\frac{{{x^3}}}{{{{\left( {{a^2} + {x^2}} \right)}^2}}}.\)

Xét hàm \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^2}}}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right),\) ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{{16a}}\) khi \(x = a\sqrt 3 .\)

Suy ra thể tích khối tứ diện lớn nhất bằng \({V_{\max }} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}.\) 

Đăng bởi: Monica.vn

Chuyên mục: Câu hỏi Trắc nghiệm

Tag: Cho hình vuông ABCD cạnh \(a\) trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại A ta lấy điểm S di động.Hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD lần lượt là H, K. Thể tích lớn nhất của tứ diện ACHK bằng

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!